10. Организация  программ  циклической  структуры. Вычисление значения полинома. Уточнение корней уравнения ( метод половинного  деления,  метод  простой итерации, метод касательных, метод хорд).

Для реализации циклических процессов используют операторы циклов.

Основные виды циклов:

• цикл-пока (while) (а);
• цикл-до (repeat until) (б);
• счетный цикл (цикл с заданным числом повторений) (в).

Цикл-пока. Синтаксическая диаграмма оператора «цикл-пока» приведена на рисунке ниже. Условие записывают в виде логического выражения. Оператор тела цикла повторяется, пока условие истинно. Проверка осуществляется на входе. Если при входе в цикл условие не выполняется, то оператор тела цикла игнорируется. Если в тело цикла необходимо поместить несколько операторов, то используют составной оператор.

Цикл-до. Операторы тела цикла повторяются до выполнения условия, условие проверяется на выходе, т.е. тело цикла всегда выполняется хотя бы один раз. Синтаксическая диаграмма оператора «цикл-до» приведена на рисунке ниже. В тело цикла можно поместить несколько операторов, разделив их точкой с запятой «;».

Счетный цикл. Цикл выполняется, пока переменная (параметр) цикла принимает значения в заданном диапазоне с определенным шагом. Синтаксическая диаграмма оператора приведена на рисунке ниже. Переменная цикла должна иметь порядковый тип. Выражение 1 определяет начальное значение параметра цикла, выражение 2 - конечное значение параметра цикла. Соответственно начальное и конечное значения должны принадлежать к тому же типу, что и параметр цикла. Если используется служебное слово to, то при каждом выполнении цикла переменной цикла присваивается следующее значение порядкового типа переменной. Если используется служебное слово downto, то при каждом выполнении цикла переменной цикла присваивается предыдущее значение порядкового типа переменной. Если диапазон значений переменной цикла пуст, то цикл не выполняется.

Вычисление значения полинома.

Функция Poly предназначена для вычисления полиномов. Единственное ограничение состоит в том, что это должны быть полиномы лишь одной переменной. Функция Poly получает переменную X, для которой вычисляется полином, и массив коэффициентов. Коэффициенты должны быть упорядочены по возрастанию степеней X.

Уточнение корней уравнения (метод половинного  деления,  метод  простой итерации, метод касательных, метод хорд).

Метод половинного деления. Суть данного метода заключается в следующем. Вначале определяют отрезок [x1, х2] такой, что f(x1) < у < f(x2). Затем делят его пополам хt = (x1+x2)/2 и определяют, в какой половине отрезка находится х, для чего сравнивают f(х1)
и у. Полученный отрезок опять делят пополам и так до тех пор, пока разность x1 и x2 не станет меньше заданного значения

Метод простых итераций. Уравнение f(x) = 0 преобразуем к виду [x2;x1]. Выбираем некоторое прибижение x0 искомого корня, последующие приближения вычисляем по формуле x=ф(x). При выполнении определенных условий последовательность сходится к x*- корню уравнения f(x) = 0.

Метод Ньютона (метод касательных). Если x0 - начальное приближение корня уравнения f(x) = 0, то последовательные приближения находят по формуле Если f' и f'' непрерывны и сохраняют определенные знаки на отрезке [a;b], а f(a)f(b) < 0 , то, исходя из начального приближения удовлетворяющего условию f(x0)f''(x0)>0, можно вычислить с любой точностью единственный корень уравнения f(x) = 0.

Метод хорд заключается в следующем. Значения функции на концах отрезка соединяют отрезком прямой. В точке пересечения этой прямой с осью абсцисс определяют значение функции. Если это значение меньше заданной погрешности функции, то абсцисса точки пересечения считается корнем функции, иначе корень функции ищется на том отрезке из двух полученных, для которого значения функции на концах разных знаков.